Chluba matematycznej myśli pitagorejskiej

Najsłynniejszym twierdzeniem Pitagorasa jest to, że kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równa się sumie kwadratów zbudowanych na obu przyprostokątnych. I odwrotnie: jeżeli boki a, b, c trójkąta spełniają warunek pitagorejski:

a² + b² = c²

to trójkąt jest prostokątny, mianowicie ma kąt prosty naprzeciwko boku c.

Szczególnie ciekawe są trójkąty, których wszystkie trzy boki są wyrażone liczbami naturalnymi spełniającymi warunek pitagorejski; trójkąty takie nazywają się trójkątami pitagorejskimi. Tak np. trójkąt o bokach 3, 4, 5 spełniają warunek pitagorejski:

3² + 4² = 5²

A więc trójkąt ten jest prostokątny; jest to najprostszy trójkąt pitagorejski.

W praktycznym zastosowaniu do budowy kąta prostego (czyli budowy linii prostych wzajemnie prostopadłych) trójkąt o bokach 3, 4, 5 na pewno znany był od wieków Egipcjanom i starożytnym ludziom Azji. Nie jest to dziełem przypadku, że takie właśnie proporcje znajdują archeolodzy zarówno w wymiarach głazów ciosanych piramidy Chefrena, jak i w świątyni Słońca w Baalbeku w Syrii. jeszcze znamienniejsze jest jednak to, że w słynnej piramidzie Cheopsa tak zwana komnata królewska ma wymiary w sposób szczególny związane z liczbami 3, 4, 5.

Przekątna całego wielościanu zawiera 5 tych samych jednostek, których krawędź najdłuższa zawiera 4, a przekątna najmniejszej ściany zawiera 3. Trójkąt o bokach 3, 4, 5 uważany był w Starożytności za figurę magiczną.

Ma on istotnie jeszcze inne ciekawe znamiona: obwód jego wyraża się liczbą 12, pole zaś równa się 6, a więc liczbie kolejnej po trzech liczbach oznaczających długości boków; ponadto

6³ = 3³ + 4³ + 5³

Nie dziw przeto że – według Plutarcha – jest to najpiękniejszy z trójkątów. Nie ulega przy tym wątpliwości, że jak dawniej, tak i obecnie budowniczy wioskowy, zakładając fundamenty chaty czy obory, kreśli trójkąt o bokach 3, 4, 5, by uzyskać kąt prosty; to samo przed tysiącami lat czyniono przy budowie wspaniałych świątyń w Egipcie, Babilonie, Chinach, a zapewne i Meksyku.

Pitagoras nie był więc odkrywcą owej właściwości trójkąta prostokątnego, lecz pierwszy zdołał twierdzenie to uogólnić, przenieść z dziedziny praktycznej na teren nauki i – udowodnić. W jaki sposób tego dokonał? Nie wiadomo

Historyk matematyki M. Cantor przypuszcza, iż nie było to udowodnienie zasadnicze, lecz raczej potwierdzenie, sprawdzenie tej własności na szeregu poszczególnych trójkątów począwszy od trójkąta prostokątnego równoramiennego.

Obecnie twierdzenie Pitagorasa jest udowodnione na sto chyba sposobów, tak – na sto sposobów! Każde niemal stulecie przynosiło nowe rodzaje lub co najmniej nowe pomysły udowodnienia twierdzenia już wielokrotnie dowiedzionego, a i dzisiaj jeszcze pęd ku pomnożeniu tych dowodów nie zamarł całkowicie.